２直線に垂直な直線

数学
例題

２直線
L_1:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}
L_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{-1}
と
の両方に垂直に交わる直線L_3の方程式を求めよ。

アプローチ

L_1上の点をP、L_2上の点をQ、とすると、
L_1のベクトル成分と直交
かつ、
L_2のベクトル成分と直交
するような線分\vec~{PQ}を求める。

答え

L_1:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}=s
L_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{-1}=t
とおくと、
\{\array{x=3s+2\\y=s-1\\z=2s+2}
\{\array{x=t-1\\y=2t+4\\z=-t}
となり、
L_1上の点Pは(\array{3s+2&s-1&2s+2})
L_2上の点Qは(\array{t-1&2t+4&-t})
となる。
　
線分\vec~{PQ}を求めると、
(\array{(t-1)-(3s+2)&(2t+4)-(s-1)&(-t)-(2s+2)})
=(\array{t-3s-3&2t-s+5&-t-2s-2})
となる。
　
L_1のベクトル成分は\vec~{l_1}=(\array{3&1&2})、
L_2のベクトル成分は\vec~{l_2}=(\array{1&2&-1})、
なので、
\vec~{PQ}・\vec~{l_1}=\vec~{PQ}・\vec~{l_2}=0
となるs,tを求めればよい。
　
式を変形すると、
\{\array{3t-14s-8=0\\2t-s+3=0}
これを解くと、
s=-1, t=-2となり、
\vec~{PQ}=(\array{-2&2&2})=2(\array{-1&1&1})
となり、求める直線の式は、
\frac{x+1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}
となる。